在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，A1B⊥C1C，AC=BC．（1）求证A1A⊥A1C；（2）若A1A=A1C=2，求三棱锥B1-A1BC的体积．

Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，A₁B⊥C₁C，AC=BC．

（1）求证A₁A⊥A₁C；
（2）若A₁A=A₁C=2，求三棱锥B₁-A₁BC的体积．

Answer 1

（Ⅰ）∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴A₁A⊥BC．
∵A₁B⊥C₁C，A₁A∥C₁C，
∴A₁A⊥A₁B，又BC∩A₁B=B，
∴A₁A⊥平面A₁BC，又A₁C⊂平面A₁BC，
∴A₁A⊥A₁C．
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ），△A₁AC是等腰直角三角形，AA₁=A₁C=2，AC=2√(2)．
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∴Rt△A₁AC斜边上的高等于斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，且等于√(2)．）
在Rt△ABC中，AC=BC=2√(2)，S_△ABC=(1)/(2)AC•BC=4，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=S_△ABC•√(2)=4√(2)．
又三棱锥A₁-ABC与三棱锥C-A₁B₁C₁的体积相等，都等于(1)/(3)V，
∴三棱锥B₁-A₁BC的体积V₁=V-2×(1)/(3)V=(4√(2))/(3)．