三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB=2，AC=4，AA1=3．D是BC的中点．（1）求直线A1D与B1C1所成角的余弦值；（2）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．

Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB=2，AC=4，AA₁=3．D是BC的中点．
（1）求直线A₁D与B₁C₁所成角的余弦值；
（2）求直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值．

Answer 1

根据题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），
A₁（0，0，3），B₁（2，0，3），C₁（0，4，3），
由此可得

A1D

=（1，2，-3），

A1C1

=（0，4，0），

DB

=（1，-2，0），

B 1C1

=（-2，4，0），

DB1

=（1，-2，3）
（1）∵cos＜

A1D

，

B 1C1

＞=(−2+8)/(√(14)•√(20))=(3√(70))/(70)，
∴直线A₁D与B₁C₁所成角的余弦值为(3√(70))/(70)；
（2）设平面A₁C₁D的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n

•

A1D

＝x+2y−3z＝0

n

•

A 1C1

＝4y＝0

，取z=1得x=3，y=0，
∴

n

=（3，0，1）是平面A₁C₁D的一个法向量
因此，设直线DB₁与平面A₁C₁D所成角为θ，
可得sinθ=cos＜

DB1

，

n

＞=(3+3)/(√(14)•√(10))=(3√(35))/(35)，
即直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值等于(3√(35))/(35)．