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如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,AD=2BC,过A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.(1)证明:Q为BB1的中点;(2)若A1A=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6
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如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,AD=2BC,过 A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.
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(1)证明:Q为BB1的中点;
(2)若A1A=4,CD=2,梯形 ABCD的面积为6,求平面α与底面ABCD所成角的大小.
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(1)证明:Q为BB1的中点;
(2)若A1A=4,CD=2,梯形 ABCD的面积为6,求平面α与底面ABCD所成角的大小.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵BQ∥AA1,BC∥AD,
BC∩BQ=B,AD∩AA1=A,
∴平面QBC∥平面A1AD,
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行,
即QC∥A1D.
故△QBC与△A1AD的对应边相互平行,
于是△QBC∽△A1AD,
∴
=
=
=
,即Q为BB1的中点;
(2) 如图所示,在△ADC中,作AE⊥DC,垂足为E,连接A1E.
又DE⊥AA1,且AA1∩AE=A,
∴DE⊥平面AEA1,∴DE⊥A1E.
∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角.
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∵BC∥AD,AD=2BC,∴S△ADC=2S△BCA.
又∵梯形ABCD的面积为6,DC=2,
∴S△ADC=4,AE=4.
于是tan∠AEA1=
=1,∠AEA1=
.
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为
.
BC∩BQ=B,AD∩AA1=A,
∴平面QBC∥平面A1AD,
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行,
即QC∥A1D.
故△QBC与△A1AD的对应边相互平行,
于是△QBC∽△A1AD,
∴
BQ |
BB1 |
BQ |
AA1 |
BC |
AD |
1 |
2 |
(2) 如图所示,在△ADC中,作AE⊥DC,垂足为E,连接A1E.
又DE⊥AA1,且AA1∩AE=A,
∴DE⊥平面AEA1,∴DE⊥A1E.
∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角.
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∵BC∥AD,AD=2BC,∴S△ADC=2S△BCA.
又∵梯形ABCD的面积为6,DC=2,
∴S△ADC=4,AE=4.
于是tan∠AEA1=
AA1 |
AE |
π |
4 |
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为
π |
4 |
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