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(2013•海口二模)如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC中点.(Ⅰ)证明:SO⊥平面ABC;(Ⅱ)求异面直线BS与AC所成角的大小.

题目详情
(2013•海口二模)如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC中点.
(Ⅰ)证明:SO⊥平面ABC;
(Ⅱ)求异面直线BS与AC所成角的大小.
▼优质解答
答案和解析
证明:(Ⅰ)因为侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,所以SB=SC
又O为BC中点,所以SO⊥BC
连OA,设AB=2,由∠BAC=90°易求得0A=S0=
2

所以OA2+SO2=SA2,所以OA⊥SO
因为OA,BC是平面ABC内的两条相交直线,所以SO⊥平面ABC.
(Ⅱ)分别取AB、SC、OC的中点N、M、H,连MN、OM、ON、HN、HM,
由三角形中位线定理
ON∥AC,ON=
1
2
AC,OM∥BS,OM=
1
2
BS,HM∥OS,HM=
1
2
OS
所以OM、ON所成角即为异面直线BS与AC所成角
设AB=2,易求得                    
IN=IM=1,MN=
3

|cos∠MON|=|
ON2+OM2−MN2
2•ON•OM
|=
1
2

所以异面直线BS与AC所成角的大小为
π
3