有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为6π5的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱．（1）求圆锥的体积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Question

有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为(6π)/(5)的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱．
（1）求圆锥的体积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

（1）∵圆锥侧面展开图的半径为5，
∴圆锥的母线长为5．
设圆锥的底面半径为r，
则2πr=(216×π×5)/(180)，解得r=3，
∴圆锥的高为4．
∴圆锥的体积V=(1)/(3)π×32×4=12π；
（2）设圆柱的底面半径为R，则(3−R)/(3)=(x)/(4)，∴R=3-(3)/(4)x，
∴圆柱的侧面积为2π（3-(3)/(4)x）x=(3)/(2)π（4-x）x≤(3)/(2)π×((4−x+x)/(2))2=6π，
当且仅当4-x=x，即x=2时，圆柱的侧面积最大．