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如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CB=1,CA=3,AA1=6,M为侧棱CC1上一点,AM⊥BA1.(Ⅰ)求证:AM⊥平面A1BC;(Ⅱ)求二面角B-AM-C的大小;(Ⅲ)求点C到平面ABM的距
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f9198618367adab4939f1cc288d4b31c8601e4e0.jpg)
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(Ⅰ)求证:AM⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求二面角B-AM-C的大小;
(Ⅲ)求点C到平面ABM的距离.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
易知面ACC1A1⊥面ABC,∵∠ACB=90°,
∴BC⊥面ACC1A1
∵AM⊆面ACC1A1,∴BC⊥AM.∵AM⊥BA1,
且BC∩BA1=B,∴AM⊥平面A1BC.
(Ⅱ)设AM与A1C的交点为O,连接BO,
由(Ⅰ)可知AM⊥OB,且AM⊥OC,
所以∠BOC为二面角B-AM-C的平面角.
在Rt△ACM和Rt△A1AC中,∠OAC+∠ACO=90°,
∴∠AA1C=∠MAC.∴Rt△ACM∽Rt△A1AC.∴AC2=MC•AA1.
∴MC=
.
∴在Rt△ACM中,AM=
.
∵
AC•MC=
AM•CO,
∴CO=1.
∴在Rt△BCO中,tan∠BOC=
=1.
∴∠BOC=45°,故所求二面角的大小为45°.
(Ⅲ)在ABC中,作CD⊥AB于D,连接DM,则AB⊥面MCD,AB⊂面MAB,
∴面MAB面⊥面MCD且交线为MD,
在△MCD中,作CO⊥MD,则CO⊥面 MAB,CO为点C到平面ABM的距离.
∵MC=
,CD=
,∴由勾股定理得MD=
,
利用等面积法:MD×CO=MC×CD,∴CO=
,即点C到平面ABM的距离是
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5fdf8db1cb1349546250efe5554e9258d0094ae0.jpg)
易知面ACC1A1⊥面ABC,∵∠ACB=90°,
∴BC⊥面ACC1A1
∵AM⊆面ACC1A1,∴BC⊥AM.∵AM⊥BA1,
且BC∩BA1=B,∴AM⊥平面A1BC.
(Ⅱ)设AM与A1C的交点为O,连接BO,
由(Ⅰ)可知AM⊥OB,且AM⊥OC,
所以∠BOC为二面角B-AM-C的平面角.
在Rt△ACM和Rt△A1AC中,∠OAC+∠ACO=90°,
∴∠AA1C=∠MAC.∴Rt△ACM∽Rt△A1AC.∴AC2=MC•AA1.
∴MC=
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∴在Rt△ACM中,AM=
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∵
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1 |
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∴CO=1.
∴在Rt△BCO中,tan∠BOC=
BC |
CO |
∴∠BOC=45°,故所求二面角的大小为45°.
(Ⅲ)在ABC中,作CD⊥AB于D,连接DM,则AB⊥面MCD,AB⊂面MAB,
∴面MAB面⊥面MCD且交线为MD,
在△MCD中,作CO⊥MD,则CO⊥面 MAB,CO为点C到平面ABM的距离.
∵MC=
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利用等面积法:MD×CO=MC×CD,∴CO=
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