三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1．（2）求证：MN⊥平面A1B1C．（3）求三棱锥M-A1B1C的体积．

Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．

（1）求证：MN∥平面BCC₁B₁．
（2）求证：MN⊥平面A₁B₁C．
（3）求三棱锥M-A₁B₁C的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接BC₁，AC₁，∵在△ABC₁中，M，N是AB，A₁C的中点∴MN∥BC₁．
又∵MN不属于平面BCC₁B₁，∴MN∥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，
∴四边形BCC₁B₁是正方形．
∴BC₁⊥B₁C．∴MN⊥B₁C．
连接A₁M，CM，△AMA₁≌△BMC．
∴A₁M=CM，又N是A₁C的中点，∴MN⊥A₁C．
∵B₁C与A₁C相交于点C，
∴MN⊥平面A₁B₁C．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知MN是三棱锥M-A₁B₁C的高．
在直角△MNC中，MC=√(5)，A1C=2√(3)，∴MN=√(2)．
又S△A1B1C=2√(2)．VM-A1B1C=(1)/(3)MN•S△A1B1C=(4)/(3)．