已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．（Ⅰ）证明：AB⊥AC1；（Ⅱ）证明：MN∥平面ACC1A1；（Ⅲ）求二面角M-AN-B的余弦值．

Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N
分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：AB⊥AC₁；
（Ⅱ）证明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）求二面角M-AN-B的余弦值．

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）证明：因为CC₁⊥平面ABC，
所以AC是AC₁在平面ABC内的射影，（2分）
由条件可知AB⊥AC，
所以AB⊥AC₁．（4分）
（Ⅱ）证明：设AC的中点为D，
连接DN，A₁D．
．
证明：（Ⅰ）：因为，，
所以=0×（-1）+2×0+0×2=0．（2分）
所以．
即AB⊥AC₁．（4分）
（Ⅱ）证明：因为，是平面ACC₁A₁的一个法向量，
且=，所以．（7分）
又MN⊄平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．（9分）
（Ⅲ）设n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，
因为，，
由得解得平面AMN的一个法向量n=（4，2，-1）．
由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，-1）．（12分）
设二面角M-AN-B的大小为θ，则==．
二面角M-AN-B的余弦值是．（14分）