如图，已知正三棱锥S-ABC，过B和侧棱SA、SC的中点E、F作一截面，若这个截面与侧面SAC垂直，求此三棱锥的侧面积与底面积之比．

Question

如图，已知正三棱锥S-ABC，过B和侧棱SA、SC的中点E、F作一截面，若这个截面与侧面SAC垂直，求此三棱锥的侧面积与底面积之比．

Answer 1

略

取AC有中点M，连结SM．设SM∩EF=D．

在△SAC中，E、F分别为SA、SC的中点，

∴EF∥AC．

∴．而SF=FC，∴SD=DM．

∴D为SM的中点．

∵S-ABC为正三棱锥，∴△SAC为等腰三角形．

∴SM⊥AC．而AC∥EF，

∴SM⊥EF．又截面BEF⊥侧面SAC．

∴SM⊥平面BEF．

∴SM⊥BD．又SD=DM．

∴△SBM为等腰三角形，∴SB=BM．

设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则，

从而SA=SB=SC=BM=．

又，

∴

∴．

通过截面与侧面垂直，寻找斜高与底面边长的关系，找出二者的关系后，问题就可解决．