三棱锥的三条侧棱两两垂直，3个侧面与底面所成的角分别为30°、45°、60°，底面面积为6，求三棱锥的体积．

Question

三棱锥的三条侧棱两两垂直，3个侧面与底面所成的角分别为30°、45°、60°，底面面积为√(6)，求三棱锥的体积．

Answer 1

设三棱锥S-ABC三侧棱长分别为SA=x，SB=y，SC=z，
S到底面的距离SH=h，
连接AH，BH，CH延长交对边于D，E，F，
连接SD，SE，SF，
由SA，SB，SC两两垂直，可得H为垂心，
由线面垂直的性质定理，SD⊥BC，SE⊥AC，SF⊥AB，
即有∠SDA=30°，∠SEB=45°，∠SFC=60°，
在直角三角形SAD中，SA=x=(h)/(cos30°)，
同理可得SB=y=(h)/(cos45°)，SC=z=(h)/(cos60°)，
由体积公式可得，V_S-ABC=V_B-SAC，
即为(1)/(3)•(1)/(2)xyz=(1)/(3)•h•√(6)，
代入化简可得h=(√(6))/(2)，
则三棱锥的体积为(1)/(3)•h•√(6)=1．