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三棱锥的三条侧棱两两垂直,3个侧面与底面所成的角分别为30°、45°、60°,底面面积为6,求三棱锥的体积.
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三棱锥的三条侧棱两两垂直,3个侧面与底面所成的角分别为30°、45°、60°,底面面积为
,求三棱锥的体积.
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▼优质解答
答案和解析
设三棱锥S-ABC三侧棱长分别为SA=x,SB=y,SC=z,
S到底面的距离SH=h,
连接AH,BH,CH延长交对边于D,E,F,
连接SD,SE,SF,
由SA,SB,SC两两垂直,可得H为垂心,
由线面垂直的性质定理,SD⊥BC,SE⊥AC,SF⊥AB,
即有∠SDA=30°,∠SEB=45°,∠SFC=60°,
在直角三角形SAD中,SA=x=
,
同理可得SB=y=
,SC=z=
,
由体积公式可得,VS-ABC=VB-SAC,
即为
•
xyz=
•h•
,
代入化简可得h=
,
则三棱锥的体积为
•h•
=1.
S到底面的距离SH=h,
连接AH,BH,CH延长交对边于D,E,F,
连接SD,SE,SF,
由SA,SB,SC两两垂直,可得H为垂心,
由线面垂直的性质定理,SD⊥BC,SE⊥AC,SF⊥AB,
即有∠SDA=30°,∠SEB=45°,∠SFC=60°,
在直角三角形SAD中,SA=x=
h |
cos30° |
同理可得SB=y=
h |
cos45° |
h |
cos60° |
由体积公式可得,VS-ABC=VB-SAC,
即为
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
6 |
代入化简可得h=
| ||
2 |
则三棱锥的体积为
1 |
3 |
6 |
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