斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长为a，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB1A1垂直于底面．（Ⅰ）判断B1C与AC1是否垂直，并证明你的结论；（Ⅱ）求三棱柱的全面积．

Question

斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长为a，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB₁A₁垂直于底面．
（Ⅰ）判断B₁C与AC₁是否垂直，并证明你的结论；
（Ⅱ）求三棱柱的全面积．

Answer 1

（Ⅰ）B₁C与AC₁垂直．
证明如下：
连接BC₁，由题意知B₁C⊥BC₁
作B₁D⊥AB，由条件知B₁D⊥面ABC，
又侧棱与底面所成的角为60°，
∴D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD为CB₁在底面ABC上的射影
又B₁C⊥AB，∴B₁C⊥面ABC₁，∴B₁C⊥AC₁
（Ⅱ）由题意知cos∠B1BC＝cos∠B1BA•cos∠CBA＝(1)/(4)，
∴sin∠B1BC＝(√(15))/(4)
同理可得sin∠A1AC＝(√(15))/(4)
∴S_侧=AB×BB₁×sin60°+BC×BB₁×sin∠B₁BC+AC×AA₁×sin∠A₁AC
=(√(3))/(2)a2+2×a2×(√(15))/(4)＝(√(3)+√(15))/(2)a2
∴S全＝2S底+S侧＝2×(√(3))/(4)a2+(√(3)+√(15))/(2)a2＝(2√(3)+√(15))/(2)a2．