如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．

Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

证明：（1）∵AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又∵C₁C∥AA₁，AA₁⊥底面ABC，∴C₁C⊥底面ABC，∴AC⊥CC₁ ．
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁ ．
而BC₁⊂平面BCC₁B₁，∴AC⊥BC₁ ．
（2）设BC₁∩B₁C=O，则O为BC₁的中点，连接OD，
∵D为AB的中点，∴OD∥AC₁，
又∵OD⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．