如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：DE⊥BC；（3）求BD和平面EFD所成角的余弦值．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：DE⊥BC；
（3）求BD和平面EFD所成角的余弦值．

Answer 1

证明：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO，
因为底面ABCD是正方形，所以点O是AC的中点，
在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．
而EO⊂面EDB，PA⊄面EDB，所以PA∥面EDB．
（2）因为PD⊥面ABCD，且BC⊂面ABCD，所以PD⊥BC．
因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥CD．
而CD∩DP=D，所以BC⊥面CDP，因为DE⊂面CDP，所以BC⊥DE．
（3）因为PD⊥面ABCD，且DC⊂面ABCD，所以PD⊥DC．
因为PD=PC，所以DE⊥PC．由（2）知DE⊥BC，而BC∩PC=C．
所以DE⊥面PCB，而PB⊂面PCB，所以DE⊥PB．
又有EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥面EFD．
所以∠BDF即BD和面EFD所成的角．
令PD=DC=1，则DB=√(2)，PB=√(3)，
所以cos∠BDF＝cos∠DPB＝(PD)/(PB)＝(1)/(√(3))＝(√(3))/(3)．
故直线BD与面DEF所成角的余弦值为(√(3))/(3)．