如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱SA=4，AC与BD相交于点O．（1）证明：SO⊥BD；（2）求三棱锥O-SCD的体积．

Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱SA=4，AC与BD相交于点O．

（1）证明：SO⊥BD；
（2）求三棱锥O-SCD的体积．

Answer 1

证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又SA⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，SA∩AC=A，
∴BD⊥平面SAC，∵SO⊂平面SAC，
∴SO⊥BD．
（2）∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴S_△OCD=(1)/(4)S_{正方形ABCD}=(1)/(4)×12=(1)/(4)．
∴V_O-SCD=V_S-OCD=(1)/(3)S△OCD•SA=(1)/(3)×(1)/(4)×4=(1)/(3)．