求,球面：x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)在圆柱：x^2+y^2

Question

求,球面：x^2+y^2+z^2=a^2(a>0) 在 圆柱：x^2+y^2

Answer 1

求球面：x²+y²+z²=a²(a>0) 在 圆柱：x²+y²≦ax 之内的部分的 表面积
z²=a²-x²-y²；2z(∂z/∂x)=-2x,故∂z/∂x=-x/z；同理,∂z/∂y=-y/z；
积分域Dxy:：x²-ax+y²=(x-a/2)²+y²-a²/4≦0,即(x-a/2)²+y²≦a²/4,即Dxy是一个圆心在(a/2,0),半径
R=a/2的圆.其所截球面的面积分对称的上下两部分,只需计算上半部分,总面积是上半部分的2倍.
即(1/2)A=[Dxy]∫∫√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]dxdy=[Dxy]∫∫√[1+x²/z²+y²/z²]dxdy=[Dxy]∫∫√[(x²+y²+z²)/z²]dxdy
=[Dxy]a∫∫[1/√(a²-x²-y²)]dxdy
为计算方便换成极坐标：x=ρcosθ,y=ρsinθ；-π/2≦θ≦π/2,0≦ρ≦acosθ；代入上式得：
(1/2)A=[Dρθ]a∫∫[1/√(a²-ρ²)]ρdρdθ=[-π/2,π/2]a∫dθ[0,acosθ]∫[1/√(a²-ρ²)]ρdρ
=[-π/2,π/2]a∫dθ[0,acosθ](-1/2)∫d(a²-ρ²)/√(a²-ρ²)=[-π/2,π/2]a∫dθ[-√(a²-ρ²)]︱[0,acosθ]
=[-π/2,π/2]a∫(a-asinθ)dθ=[-π/2,π/2]a²∫(1-sinθ)dθ=a²(θ+cosθ)︱[-π/2,π/2]=πa²
故总面积A=πa².