如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．1）求证：MN∥平面PAD．2）若PD⊥AD，PD=3，AD=1，求异面直线MN和BC所成的角．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．
1）求证：MN∥平面PAD．
2）若PD⊥AD，PD=√(3)，AD=1，求异面直线MN和BC所成的角．

Answer 1

1）证明：取CD的中点E，连接ME，NE．
由N是线段CP的中点，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，
∵NE⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴NE∥平面PAD．
由M是线段AB的中点，E是CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD．
又ME∩EN=E，∴平面MNE∥平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
2）∵四边形ABCD是平行四边形，四边形AMED是平行四边形，
∴ME∥BC，∴∠EMN是异面直线MN和BC所成的角，
∵PD⊥AD，PD=√(3)，AD=1，
∴NE⊥ME，NE=(1)/(2)PD=(√(3))/(2)，EM=1，
∴tan∠EMN=(NE)/(EM)=(√(3))/(2)，
∴异面直线MN和BC所成的角为arctan(√(3))/(2)．