如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是平行四边形,角BCD=60度,AB=2AD,PD垂直平面ABCD,点M为PC的中点...如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是平行四边形,角BCD=60度,AB=2AD,PD垂直平面ABCD,点M为PC的中点.（1）求

Question

如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是平行四边形,角BCD=60度,AB=2AD,PD垂直平面ABCD,点M为PC的中点...
如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是平行四边形,角BCD=60度,AB=2AD,PD垂直平面ABCD,点M为PC的中点.
（1）求证：PA平行平面BMD；
（2）求证：AD垂直PB；
（3）若AB=PD=2,A到平面BMD的距离.

Answer 1

（1）设底面□ABCD对角线交点为N,连接MN

∵ABCD为平行四边形,∴N为对角线AC的中点

在△PAC中,M为PC中点,N为AC中点,∴PA∥MN

而MN∈平面BMD,∴PA∥平面BMD

（2）过中点N做EF∥AD交AB,CD于E,F

∵N为中点,∴E,F亦为对应边中点,且N为EF中点

又AB=2AD,∴有 DF=CD/2=AD=EF

∵EF∥AD,∴∠EFD=∠BCD=60°,则△DEF为等边三角形

又N为EF中点,∴DN为EF边上的高,即有EF⊥DN

∵EF∥AD,∴即有 AD⊥DN

又PD⊥底面ABCD,∴有 PD⊥AD

AD同时垂直于PD和DN,故AD⊥平面PBD

而PB∈平面PBD,∴AD⊥PB

（3）AB=PD=2,则AD=AE=1

∵PD⊥底面ABCD,∴△PAD,△PCD均为直角三角形

由勾股定理易求得 PA=√[2^2+1^2]=√5,PC=√[2^2+2^2]=2√2

又∠BCD=60°,则∠ABC=120°,由余弦定理可得

AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos∠ABC

=2^2+1^2-2*2*1*cos120°

=7,           ∴AC=√7

 后面可用海伦公式算出△PAC的面积,

再由面积公式反算出C到PA的高,设为CH,其数值约为2.5

A到平面BMD的距离即为两平行直线PA,MN之间的距离

因M,N均为中点,故其距离为CH的一半,即约为1.25左右

即A到平面BMD的距离约为1.25左右

（PS：第3问这种算法太复杂了,应该有更简便的算法,期待.）