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如图,在四棱锥E-ABCD中,△ABD为正三角形,EB=ED,CB=CD.(1)求证:EC⊥BD;(2)若AB⊥BC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:平面DMN∥平面BEC.
题目详情
如图,在四棱锥E-ABCD中,△ABD为正三角形,EB=ED,CB=CD.
(1)求证:EC⊥BD;
(2)若AB⊥BC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:平面DMN∥平面BEC.
(1)求证:EC⊥BD;
(2)若AB⊥BC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:平面DMN∥平面BEC.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)取BD的中点O,连接OE,OC,则
∵EB=ED,CB=CD,
∴BD⊥EO,BD⊥CO,
∵EO∩CO=O,
∴BD⊥平面EOC,
∵EC⊂平面EOC,
∴EC⊥BD;
(2)∵△ABD为正三角形,N为AB的中点,
∴DN⊥AB,
∴AB⊥BC,
∴DN∥BC,
∵DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,
∴DN∥平面BEC;
∵M,N分别为线段AE,AB的中点,
∴MN∥BE,
∵MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,
∴MN∥平面BEC;
∵DN∩MN=N,
∴平面DMN∥平面BEC.
∵EB=ED,CB=CD,
∴BD⊥EO,BD⊥CO,
∵EO∩CO=O,
∴BD⊥平面EOC,
∵EC⊂平面EOC,
∴EC⊥BD;
(2)∵△ABD为正三角形,N为AB的中点,
∴DN⊥AB,
∴AB⊥BC,
∴DN∥BC,
∵DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,
∴DN∥平面BEC;
∵M,N分别为线段AE,AB的中点,
∴MN∥BE,
∵MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,
∴MN∥平面BEC;
∵DN∩MN=N,
∴平面DMN∥平面BEC.
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