已知三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱长都相等，半径为2的球O过三棱锥P-ABC的四个顶点，则PA=．

Question

已知三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱长都相等，半径为2的球O过三棱锥P-ABC的四个顶点，则PA= ___ ．

Answer 1

根据题意，三棱锥P-ABC是正三棱锥，设P在底面的射影是E
延长AE交BC于D，连接PD、OA、OB、OC
∵，△ABC是边长为3的等边三角形，
∴AE=(√(3))/(3)AB=√(3)，DE=(√(3))/(6)
∵半径为2的球O过三棱锥P-ABC的四个顶点，
∴球心O在PE上，设OE=x
则AO=√(AE2+OE2)=2，得（√(3)）²+x²=4，解得x=1（舍负）
∴PE=PO±OE=1或3
因此，Rt△PAE中，PA=√(AE2+PE2)=2或2√(3)
故答案为：2或2√(3)