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(2009•武汉模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB⊥AC,且AB=1,BC=2,又PA⊥底面ABCD,PA=2,又E为边BC上异于B、C的点,且PE⊥ED.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)求A到平面P

题目详情
(2009•武汉模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB⊥AC,且AB=1,BC=2,又PA⊥底面ABCD,PA=
2
,又E为边BC上异于B、C的点,且PE⊥ED.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)求A到平面PED的距离.
▼优质解答
答案和解析
(1)在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,∠BAC=90°,
又因为AB=1,BC=2,则∠ABC=60°,AC=
3

所以四边形ABCD面积S=
3

又因为PA⊥平面ABCD,PA=
2

所以VP−ABCD=
1
3
3
2
6
3
…(6分)
(2)因为PE⊥ED,PA⊥ED,
所以ED⊥平面PAE,
所以DE⊥AE.
在平行四边形ABCD中,设BE=x,
AE2=1+x2−2•1•x•
1
2
=x2−x+1
ED2=1+(2−x)2+2×1×(2−x)×
1
2
=x2 −5x+7
由AD2=AE2+DE2可知:x2-3x+2=0,故x=1,x=2(舍)
因为DE⊥平面PAE,
所以面PAE⊥平面PED.
所以A到面PED的距离转化为A到棱PE的距离.
在Rt△PAE中,PA=
作业帮用户 2017-10-15
问题解析
(1)由题意可得:∠BAC=90°,并且AB=1,BC=2,可得∠ABC=60°,AC=
3
即可得到平行四边形的面积,进而求出几何体的体积.
(2)由题意可得:DE⊥AE,设BE=x,即可表示出AE2=x2-x+1与ED2=x2-5x+7,可得x=1,再由面PAE⊥平面PED可得:A到面PED的距离转化为A到棱PE的距离,进而根据Rt△PAE的边长关系得到答案.
名师点评
本题考点:
点、线、面间的距离计算;棱柱、棱锥、棱台的体积.
考点点评:
本题主要考查点到平面的距离,求点到面的距离时,如果直接法不好求的话,一般转化为棱锥的高利用等体积法来求.
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