如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点D到平面PCE的距离．

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（2）求点D到平面PCE的距离．

Answer 1

（1）证明：取PD的中点F，则AF⊥PD．
∵CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD．
∴AF⊥平面PCD．
取PC的中点G，连接EG、FG，可证AFGE为平行四边形．
∴AF∥EG．∴EG⊥平面PCD．
∵EG在平面PCE内，
∴平面PCE⊥平面PCD．
（2）在平面PCD内，过点D作DH⊥PC于点H．
∵平面PCE⊥平面PCD，∴DH⊥平面PCE，即DH为点D到平面PCE的距离．
在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=√(2)a．
在Rt△PCD中，PD=√(2)a，CD=a，PC=√(3)a，
∴DH=(PD•DC)/(PC)=(√(6))/(3)a．