如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AB=2AF．（1）证明：平面ABE⊥平面EBD；（2）若三棱锥A-BDE的外接球的体积为82π3，求三棱

Question

如图所示，等腰梯形ABCD的底角 A等于60°，直角梯形 ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AB=2AF．

（1）证明：平面ABE⊥平面EBD；
（2）若三棱锥 A-BDE的外接球的体积为(8√(2)π)/(3)，求三棱锥 A-BEF的体积．

Answer 1

（1）证明：因为平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD，
∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥ED，
又∵AD=2，AB=1，A=60°，∴AB⊥BD．
又BD∩ED=D，BD，ED⊂平面EBD，
∴AB⊥平面EBD，
又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面EBD．
（2） 由（1）得AD⊥DE，AB⊥BE，所以三棱锥A-BDE的外接球的球心为线段AE的中点．
∴(4)/(3)•π•((AE)/(2))3=(8√(2)π)/(3)，解得AE=2√(2)，AD=ED=2，AB=AF=1，
∴VA-BEF=VB-AEF=(1)/(3)×(1)/(2)×1×2×(√(3))/(2)=(√(3))/(6)．