正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，E为SA的中点，AB＝1，直线AD到平面SBC的距离等于．（1）求斜高SM的长；（2）求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小

Question

正四棱锥 S － ABCD 中， O 为底面中心， E 为 SA 的中点， AB ＝1，直线 AD 到平面 SBC 的距离等于 ．

（1）求斜高 SM 的长；

（2）求平面 EBC 与侧面 SAD 所成锐二面角的大小

Answer 1

解法一：（1）连OM，作OH⊥SM于H． ∵SM为斜高，∴M为BC的中点，∴BC⊥OM． ∵BC⊥SM，∴BC⊥平面SMO． 又OH⊥SM，∴OH⊥平面SBC． 由题意，得． 设SM＝x， 则，解之，即． （2）设面EBC∩SD＝F，取AD中点N，连SN，设SN∩EF＝Q． ∵AD∥BC，∴AD∥面BEFC．而面SAD∩面BEFC＝EF，∴AD∥EF． 又AD⊥SN，AD⊥NM，AD⊥面SMN． 从而EF⊥面SMN，∴EF⊥QS，且EF⊥QM． ∴∠SQM为所求二面角的平面角，记为α． 由平几知识，得． ∴，∴． ∴，即　　　　　　 所求二面角为．     解法二：（1）建立空间坐标系（如图） ∵底面边长为1，∴， ，， ．    ……………1分 设， 平面SBC的一个法向， 则，． ∴，． ∴y＝2h，n＝（0，2h，1）．… 3分 而＝（0，1，0），由题意，得                   ．解得． ∴斜高．   （2）n＝（0，2h，1）＝， 由对称性，面SAD的一个法向量为n1＝． 设平面EBC的一个法向量n2=（x，y，1），由 ，，得  解得∴． 设所求的锐二面角为α，则 ，∴