已知正四棱台（由正四棱锥截得的棱台叫做正四棱台）上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积和体积．

Question

已知正四棱台（由正四棱锥截得的棱台叫做正四棱台）上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积和体积．

Answer 1

如图，E，E₁分别是BC，B₁C₁的中点，O，O₁分别是下、上底面正方形的中心，
则O₁O是正四棱台的高，则O₁O=12，
连结OE，O₁E₁，则OE=(1)/(2)AB=(1)/(2)×12=6，O₁E₁=(1)/(2)A₁B₁=3，
过E₁作E₁H⊥OE，垂足为H，
则E₁H=O₁O=12，OH=O₁E₁=3，HE=OE-O₁E₁=6-3=3，
在Rt△E₁HE中，E₁E²=E₁H²+HE²=12²+3²=3²×4²+3²=3²×17，
∴E1E=3√(17)，
∴该正四棱台的侧面积为
S侧=4×(1)/(2)×(B1C1+BC)×E1E=2×(12+6)×3√(17)=108√(17)．
S_上=6²=36，S_下=12²=144，h=12，
∴该正四棱台的体积为：
V=(h)/(3)(S上+S下+√(S上S下))=(12)/(3)(36+144+√(36×144))=1008．