已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之比．

Question

已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之比．

Answer 1

设A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 是棱台ABCD-A ₂ B ₂ C ₂ D ₂ 的中截面，延长各侧棱交于P点．
∵BC=a，B ₂ C ₂ =b∴B ₁ C ₁ = (a+b)/(2) ∵BC ∥ B ₁ C ₁ ∴ (S△PBC)/(S△P B1 C1) =(a2)/(((a+b)/(2))2)
∴ S △P B 1 C 1 =((a+b)2)/(4 a2) • S △PBC
同理 S △P B 2 C 2 =(b2)/(a2) • S △PBC
∴ (SB1 C1 CB)/(SB2 C2 C1 B1) =(S△P B1 C1 = S△PBC)/(S△P B2 C2 - S△P B1 C1) = (((a+b)2)/(4 a2)-1)/((b2)/(a2)-((a+b)2)/(4 a2)) = (b2 +2ab-3 a2)/(3 b2 -2ab- a2) = ((b+3a)(b-a))/((3b+a)(b-a)) = (b+3a)/(3b+a)
同理： (SAB B1 A1)/(SA1 B1 B2 A1) =(SDC C1 D1)/(SD1 C1 C2 D2) =(SAD D1 A1)/(SA1 D1 D2 A1) =(b+3a)/(3b+a)
由等比定理，得 (S上棱台侧)/(S下棱台侧) =(3a+b)/(a+3b)
故中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之比为： (S上棱台侧)/(S下棱台侧) =(3a+b)/(a+3b) ．