（2010•江西模拟）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AA1=2a，M、N分别是棱BB1，DD1的中点．①求异面直线A1M与B1C所成的角的余弦值；②若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V，三棱锥N-A1B1C1的体积

Question

（2010•江西模拟）如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AA₁=2a，M、N分别是棱BB₁，DD₁的中点．
①求异面直线A₁M与B₁C所成的角的余弦值；
②若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V，三棱锥N-A₁B₁C₁的体积为V₁，求(V1)/(V)的值．
③求平面A₁MC₁与平面B₁NC₁所成的二面角的大小．

Answer 1

①∵A₁D∥B₁C
∴∠MA₁D是异面直线A₁M与B₁C所成的角（或补角）
MA1＝√(2)a，A1D＝√(5)a，MD＝√(3)a
cos∠MA1D＝(A1M2+A1D2−MD2)/(2A1M•A1D)
=(2a2+5a2−3a2)/(2×√(2)a×√(5)a)
=(√(10))/(5)
所以异面直线A₁M与B₁C所成的角余弦值为(√(10))/(5)
②V=2a³，
VN−A1B1C1＝(1)/(3)a×(1)/(2)a2＝(1)/(6)a3，
(V1)/(V)＝(1)/(12)
③取AA₁中点P，连接B₁P、NP、MP，则四边形B₁MPA₁为正方形．
∵A₁M⊥B₁P，且B₁C₁⊥平面A₁B₁BA，
∴B₁C₁⊥A₁M，即A₁M⊥B₁C₁，
∴A₁M⊥平面B₁PNC₁
即A₁M⊥平面B₁NC₁，
∵A₁M⊂平面A₁MC₁，
所以，平面A₁MC₁⊥平面B₁NC．
故平面A₁MC₁与平面B₁NC₁所成二面角大小为90°．