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如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:∠ADC=∠BDE.
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如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:∠ADC=∠BDE.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77c6a7efce1b9d166bcb5ad0f0deb48f8c546477.jpg)
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▼优质解答
答案和解析
作CH⊥AB于H交AD于P,
∵在Rt△ABC中,AC=CB,∠ACB=90°,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dc54564e9258d1091e9b6903d258ccbf6c814d03.jpg)
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA.
又∵BC中点为D,
∴CD=BD.
又∵CH⊥AB,
∴CH=AH=BH.
又∵∠PAH+∠APH=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∠APH=∠CPF,
∴∠PAH=∠ECH.
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH,AH=CH,∠PHA=∠EHC,
∴△APH≌△CEH(ASA).
∴PH=EH,
又∵PC=CH-PH,BE=BH-HE,
∴CP=EB.
∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠B=45°,
即∠EBD=45°,
∵CH⊥AB,
∴∠PCD=45°=∠EBD,
在△PDC与△EDB中
PC=EB,∠PCD=∠EBD,DC=DB,
∴△PDC≌△EDB(SAS).
∴∠ADC=∠BDE.
∵在Rt△ABC中,AC=CB,∠ACB=90°,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dc54564e9258d1091e9b6903d258ccbf6c814d03.jpg)
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA.
又∵BC中点为D,
∴CD=BD.
又∵CH⊥AB,
∴CH=AH=BH.
又∵∠PAH+∠APH=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∠APH=∠CPF,
∴∠PAH=∠ECH.
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH,AH=CH,∠PHA=∠EHC,
∴△APH≌△CEH(ASA).
∴PH=EH,
又∵PC=CH-PH,BE=BH-HE,
∴CP=EB.
∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠B=45°,
即∠EBD=45°,
∵CH⊥AB,
∴∠PCD=45°=∠EBD,
在△PDC与△EDB中
PC=EB,∠PCD=∠EBD,DC=DB,
∴△PDC≌△EDB(SAS).
∴∠ADC=∠BDE.
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