母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（）A．223πB．233πC．2πD．263π

Question

母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（　　）

A． (22)/(3) π

B． (23)/(3) π

C． 2 π

D． (26)/(3) π

Answer 1

设圆锥底面半径为r，高为h，则圆锥体积V= (1)/(3) πr ² •h
又∵r ² +h ² =1∴h=

1- r 2

∴圆锥体积V= (1)/(3) πr ² •

1- r 2

= (2π)/(3) •

(r2)/(2) •(r2)/(2) • (1- r 2 )

∵

3	(r2)/(2) •(r2)/(2) •(1- r 2 )

≤((r2)/(2)+(r2)/(2)+1- r2)/(3) = (1)/(3) ，
当且仅当 (r2)/(2) =1- r 2 时，即当 r=(6)/(3) 时圆锥体积V取得最大值
∴侧面展开图圆心角ϕ=2πr=2π• (6)/(3)
故选择D