计算∫∫Szdxdy,其中S是球面x^2+y^2+z^2=4在x>0,y>0部分并取球面的外侧在线等,急

Question

计算∫∫Szdxdy,其中S是球面x^2+y^2+z^2=4在x>0,y>0部分并取球面的外侧
在线等,急

Answer 1

取Σ：z = √(4 - x² - y²)
∫∫Σ yzdzdx + 2dxdy
= ∫∫D [ - y√(4 - x² - y²) * ∂z/∂y + 2 ] dxdy
= ∫∫D [ - y√(4 - x² - y²) * - y/√(4 - x² - y²) + 2 ] dxdy
= ∫∫D (y² + 2) dxdy
= 4∫(0,π/2) dθ ∫(0,2) (r³sin²θ + 2) dr
= 12π
高斯公式法：
取Σ：x² + y² + z² = 4外侧
补Σ1：z = 0下侧
∫∫(Σ+Σ1) yzdzdx + 2dxdy
= ∫∫∫Ω [ ∂/∂y (yz) + ∂/∂z (2) ] dv
= ∫∫∫Ω ( z + 0 ) dv
= ∫(0,2) z [ ∫∫Dz dxdy ] dz
= ∫(0,2) z * π(4 - z²) dz
= ∫(0,2) π(4z - z³) dz
= 4π
∫∫Σ1 yzdzdx + 2dxdy
= ∫∫Σ1 (0 + 2dxdy)
= - 2∫∫D dxdy
= - 2 * π * 2²
= - 8π
于是∫∫Σ yzdzdx + 2dxdy = 4π - (- 8π) = 12π