设半径为R的球面上有两个点A、B,若A、B的球面距离为πR/4,如过A、B的平面与球心间的距离为d,求d的范围?

Question

设半径为R的球面上有两个点A、B,若A、B的球面距离为πR/4,如过A、B的平面与球心间的距离为d,求d的范围?

Answer 1

设球心O,
过点A、B、0的平面切球为大圆,其半径=球半径R,周长=2πR,弧AB=πR/4,
圆心角AOB:360=πR/4:2πR,
圆心角AOB=45度,
d最大值=R*COS(45度/2),[即过A、B的平面与过点A、B、0的平面垂直]
=R√{[1+COS(45度)]/2}
=R√{[1+(√2)/2)]/2}
=[R√(2+√2)]/2,
d最小值=0,[即过A、B的平面与过点A、B、0的平面重合]
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