已知P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，三棱锥P-ABC的体积为943，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（）A．16π3B．8πC．32π3D．16π

Question

已知P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，三棱锥P-ABC的体积为(9)/(4)√(3)，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（　　）

A．(16π)/(3)
B．8π
C．(32π)/(3)
D．16π

Answer 1

如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，
设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，
∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，
OB=OP=R，
∴OS=(R)/(2)，BS=(√(3))/(2)R，
∴(2)/(3)√(3)a＝(√(3))/(2)R，解得a=(3)/(4)R，2a=(3)/(2)R，
∵三棱锥P-ABC的体积为(9)/(4)√(3)，
∴(1)/(3)×(1)/(2)S△ABC•PS=(9)/(4)√(3)，
即(1)/(3)×(1)/(2)×(1)/(2)×(3)/(2)R×(3)/(2)Rsin60°×(3)/(2)R＝(9)/(4)√(3)，
解得R=2，
∴球O的表面积S=4πR²=16π．
故选：D．