设Σ为球面x2+y2+z2=3，外侧为正，则∯（x-1）dxdy的值为，∯（z2-y）dxdy=．

Question

设Σ为球面x²+y²+z²=3，外侧为正，则

∯

（x-1）dxdy的值为______，

∯

（z²-y）dxdy=______．

Answer 1

由于Σ为球面x²+y²+z²=3，将其分成上半球面∑₁和下半球面∑₂，都取外侧，
且∑在xoy面的投影为D：x²+y²≤3
因此，

∯

（x-1）dxdy=

∯

xdxdy-

∯

dxdy=

∯

∑1+∑2

xdxdy-

∯

∑1+∑2

dxdy
=

∫∫

D

xdxdy−

∫∫

D

xdxdy−(

∫∫

D

dxdy−

∫∫

D

dxdy)＝0

∯

（z²-y）dxdy=

∯

(3−x2−y2−y)dxdy-

∯

∑1+∑2

(3−x2−y2−y)dxdy
=

∫∫

D

(3−x2−y2−y)dxdy−

∫∫

D

(3−x2−y2−y)dxdy＝0