假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（）A．1-dRB．1+dRC．（R−dR）2D．（RR−d）2

Question

假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（　　）

A．1-(d)/(R)
B．1+(d)/(R)
C．（(R−d)/(R)）²
D．（(R)/(R−d)）²

Answer 1

令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=G(M)/(R2)
由于地球的质量为：M=ρ•(4)/(3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g=(GM)/(R2)=(G•ρ(4)/(3)πR3)/(R2)=(4)/(3)πGρR．
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=(4)/(3)πGρ（R-d）．
所以有(g′)/(g)=(R−d)/(R)
故选：A．