求解微分方程x^2y"-2xy'+2y=x^3lnx,特解该怎么设,一直求不出

Question

求解微分方程
x^2y"-2xy'+2y=x^3lnx,特解该怎么设,一直求不出

Answer 1

x^2y"-2xy'+2y=x^3lnx
设x=e^t,t=lnx
y'=(y't)*(1/x) y''=((y''t)-y't)/x^2,代入得：
(y''t-y't)-2y't+2y=te^3t
y''t-3y't+2y=te^3t
特征方程的根为：1和2
设特解y*=(At+B)e^3t,代入求得：A=1/2,B=-1/4
y=C1e^t+C2e^2t+(1/4)(2t-1)e^3t
=C1x+C2x^2+(1/4)(2lnx-1)x^3