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求微分方程的通解y'+y=ex
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求微分方程的通解y'+y=ex
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答案和解析
y'+y=e^x,(1)
设y'+y=0,
dy/dx=-y,
dy/y=-dx,
lny=-x+lnC1,
y=c*e^(-x),
令y=v*e^(-x),
dy/dx=dv/dx*e^(-x)-v*e^(-x),
代入（1）式,
dv/dx*e^(-x)-v*e^(-x)+v*e^(-x)=0,
dv/dx*e^(-x)=0,
dv/dx=e^(2x),
v=(1/2)*e^(2x)+C,
y=e^(-x)*[(1/2)*e^(2x)+C]
∴微分方程的通解为：y=(1/2)e^x+C*e^(-x).
设y'+y=0,
dy/dx=-y,
dy/y=-dx,
lny=-x+lnC1,
y=c*e^(-x),
令y=v*e^(-x),
dy/dx=dv/dx*e^(-x)-v*e^(-x),
代入（1）式,
dv/dx*e^(-x)-v*e^(-x)+v*e^(-x)=0,
dv/dx*e^(-x)=0,
dv/dx=e^(2x),
v=(1/2)*e^(2x)+C,
y=e^(-x)*[(1/2)*e^(2x)+C]
∴微分方程的通解为：y=(1/2)e^x+C*e^(-x).
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