设F（x）=∫x20e−t2dt，试求：（Ⅰ）F（x）的极值；（Ⅱ）曲线y=F（x）的拐点的横坐标；（Ⅲ）∫3−2x2F′（x）dx．

Question

设F（x）=

∫

x2 0

e −t2dt，试求：
（Ⅰ）F（x）的极值；
（Ⅱ）曲线y=F（x）的拐点的横坐标；
（Ⅲ）

∫

3 −2

x²F′（x）dx．

Answer 1

利用积分上限函数的求导公式可得，
F′（x）=e−(x2)2•(x2)′=2xe−x4，
F″（x）=2e−x4-8x4e−x4．
（1）由F′（x）=0可得，x=0．
又因为F″（0）=2＞0，
故F（x）在x=0处取得极小值F（0）=0．
（2）由F″（x）=2e−x4-8x4e−x4=2e−x4(1−4x4)=0可得，
x=±(√(2))/(2)．
又因为当x＜−(√(2))/(2)时，F″（x）＜0；
当−(√(2))/(2)＜x＜(√(2))/(2)时，F″（x）＞0；
当x＞

作业帮用户 2017-10-11

问题解析

（1）由F′（x）=0求出F（x）的所有驻点，然后由驻点处的二阶导数的符号判断其是否为极值；（2）计算F″（x），由F″（x）的符号变化可以求出曲线y=F（x）的拐点的横坐标；（3）利用凑微分法进行计算．

名师点评

本题考点：

求函数图形的拐点；求函数的极值点．

考点点评：

本题的综合性较强，考查了积分上限函数的求导、函数极值的求法、函数拐点的求法以及计算定积分的凑微分法；题目的难度系数适中，计算量稍大，需要仔细计算．

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