设f（x）在x=0的某邻域内二阶连续可导，且f′（0）=0，limx→0xf″(x)1−cosx=1，则（）A．f″（0）≠0，但（0，f（0））为y=f（x）的拐点B．f″（0）=0，且f（0）为f（x）的极小值C．f″（0）

Question

设f（x）在x=0的某邻域内二阶连续可导，且f′（0）=0，

lim

x→0

(xf″(x))/(1−cosx)=1，则（　　）

A．f″（0）≠0，但（0，f（0））为y=f（x）的拐点
B．f″（0）=0，且f（0）为f（x）的极小值
C．f″（0）=0，且（0，f（0））为y=f（x）的拐点
D．f″（0）≠0且f（0）为f（x）的极小值

Answer 1

因为

lim

x→0

(xf″(x))/(1−cosx)＝1≠0，
所以

lim

x→0

f″(x)＝0．
又因为f（x）在x=0的某邻域内有二阶连续导数，
于是f″（0）=

lim

x→0

f″(x)＝0．
因为

lim

x→0

(xf″(x))/(1−cosx)＝1＞0，
根据极限的保号性，
在x=0的某去心邻域内必然有xf″（x）＞0，
即f″（x）在x=0两侧变号，
于是（0，f（0））为曲线的拐点．
综上，f″（0）=0，（0，f（0））为曲线的拐点．
故选：C．