三重积分计算I=∫∫∫(x+y+z)^2dv..设V:x^2+y^2+z^2

Question

三重积分计算I=∫∫∫(x+y+z)^2dv..设V:x^2+y^2+z^2

Answer 1

(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz,由于积分区域关于xoy面、xoz面对称,而2xy、2xz、2yz关于y或z为奇函数,因此它们的积分为0,因此被积函数只剩下x²+y²+z²
再由轮换对称性,本题积分区域改为：x²+y²+z²≤4,x²+y²+(z-2)²≤4,积分结果不变.
x²+y²+(z-2)²=4可化为：x²+y²+z²=2z,球坐标方程为r²=2rcosφ,即r=2cosφ
∫∫∫ (x²+y²+z²) dxdydz
球坐标
=∫∫∫ r²*r²*sinφ drdφdθ
=∫[0→2π]dθ∫[0→π/2]dφ∫[2cosφ→2] r²*r²*sinφ dr
=(2π/5)∫[0→π/2] r^5sinφ |[2cosφ→2] dφ
=(64π/5)∫[0→π/2] (1-(cosφ)^5)sinφdφ
=-(64π/5)∫[0→π/2] (1-(cosφ)^5)d(cosφ)
=(64π/5)(1/6)(cosφ)^6-(64π/5)(cosφ) |[0→π/2]
=(64π/5)-(64π/5)(1/6)
=(64π/5)(5/6)
=32π/3