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(2011•邢台一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA=AD=1,PA⊥面ABCD,E是AB的中点,F为PC上一点,且EF∥面PAD.(I)证明:F为PC的中点;(II)若二面角C-PD-E的平面角的余弦值为63,求直线E
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(I)证明:F为PC的中点;
(II)若二面角C-PD-E的平面角的余弦值为
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▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:如图,
设平面AEF∩直线PD=G,则平面AEF∩平面PAD=AG,
∵EF∥平面PAD,∴EF∥AG,
又AE∥CD,∴AE∥面PCD,又平面AEF∩平面PCD=FG,
∴AE∥FG.
故四边形AEFG是平行四边形.
又E是AB的中点,即AE=
AB=
CD.
∴FG=
CD,而FG∥AE∥CD,
∴F是PC的中点;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F、G分别为PC、PD的中点,又PA=AD.
∴AG⊥PD,而EF∥AG,
∴EF⊥PD,
易知Rt△PAE≌Rt△CBE,∴PE=EC,∴EF⊥PC,又PC∩PD=P,
∴EF⊥平面PCD.
又PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,由三垂线定理,得CD⊥PD.
∵FG∥CD,∴FG⊥PD.
连结EG,由三垂线定理知,EG⊥PD,∴∠FGE为二面角C-PD-E的平面角.
设AB=2a,则FG=
CD=
AB=a.
在Rt△EFG中,EG=
=
.
∴cos∠FGE=
=
,解得a=1,∴AB=2.
连结FD,则∠EDF即为ED与平面PCD所成的角.
∴sin∠EDF=
=
=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d058ccbf6c81800aa41d57bfb23533fa838b4783.jpg)
设平面AEF∩直线PD=G,则平面AEF∩平面PAD=AG,
∵EF∥平面PAD,∴EF∥AG,
又AE∥CD,∴AE∥面PCD,又平面AEF∩平面PCD=FG,
∴AE∥FG.
故四边形AEFG是平行四边形.
又E是AB的中点,即AE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴FG=
1 |
2 |
∴F是PC的中点;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F、G分别为PC、PD的中点,又PA=AD.
∴AG⊥PD,而EF∥AG,
∴EF⊥PD,
易知Rt△PAE≌Rt△CBE,∴PE=EC,∴EF⊥PC,又PC∩PD=P,
∴EF⊥平面PCD.
又PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,由三垂线定理,得CD⊥PD.
∵FG∥CD,∴FG⊥PD.
连结EG,由三垂线定理知,EG⊥PD,∴∠FGE为二面角C-PD-E的平面角.
设AB=2a,则FG=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△EFG中,EG=
EF2+FG2 |
(
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∴cos∠FGE=
FG |
EG |
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连结FD,则∠EDF即为ED与平面PCD所成的角.
∴sin∠EDF=
EF |
ED |
AG | ||
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- 名师点评
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- 本题考点:
- 二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的性质.
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- 考点点评:
- 本题考查了空间直线与直线的位置关系,考查了直线与平面垂直的性质,考查了线面角及二面角,综合考查了学生的空间想象能力和思维能力,训练了三垂线定理的用法,是中档题.
![](https://img.zuoyebang.cc/zyb_2c1f6beb0730ff3ef29cfbf0ca4cb53c.jpg)
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