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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求证:A1C⊥面DBC1(2)求二面角C1-AB-D的大小(3)求AD1与面BB1D1D所成角的大小.
题目详情
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求证:A1C⊥面DBC1
(2)求二面角C1-AB-D的大小
(3)求AD1与面B B1 D1D所成角的大小.
(1)求证:A1C⊥面DBC1
(2)求二面角C1-AB-D的大小
(3)求AD1与面B B1 D1D所成角的大小.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:图形如右所示:
∵BD⊥AC,BD⊥AA1
∴BD⊥面AA1C1C,
∴BD⊥A1C,
同理BC1⊥A1C,
∴A1C⊥面DBC1;
(2)在正方体中,可知AB⊥BC,AB⊥BC1,则∠C1BC为二面角C1-AB-D的平面角,
在等腰直角三角形BCC1中,∠C1BC=45°,
所以二面角C1-AB-D的大小为450;
(3)连接AC交BD于点O,连接OD1,
∵AC⊥BD,AC⊥BB1,
∴AC⊥平面B B1 D1D,则∠AD1O为AD1与面BB1D1D所成的角,
在Rt△AOD1中,sin∠AD1O=
,
所以∠AD1O=30°,即所求线面角的大小为30°;
∵BD⊥AC,BD⊥AA1
∴BD⊥面AA1C1C,
∴BD⊥A1C,
同理BC1⊥A1C,
∴A1C⊥面DBC1;
(2)在正方体中,可知AB⊥BC,AB⊥BC1,则∠C1BC为二面角C1-AB-D的平面角,
在等腰直角三角形BCC1中,∠C1BC=45°,
所以二面角C1-AB-D的大小为450;
(3)连接AC交BD于点O,连接OD1,
∵AC⊥BD,AC⊥BB1,
∴AC⊥平面B B1 D1D,则∠AD1O为AD1与面BB1D1D所成的角,
在Rt△AOD1中,sin∠AD1O=
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所以∠AD1O=30°,即所求线面角的大小为30°;
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