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自二面角内一点分别向两个半平面引垂线,求证:它们所成的角与二面角的平面角互补.
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自二面角内一点分别向两个半平面引垂线,求证:它们所成的角与二面角的平面角互补.
▼优质解答
答案和解析
证明:设二面角M-a-N内一点P,PA⊥平面M于点A,PD⊥平面N于点D,
作DC⊥a于点C,作AB⊥平面N,
∵AB∥PD,点P、A、B、C、D都在同一平面内,
∴点D在BC上,
∵AB⊥平面N、DC⊥a,∴AC⊥a,∠ACD是二面角M-a-N的平面角,
∵四边形APDC中,∠PDC=∠PAC=Rt∠,∴∠APD+∠ACD=180°
即自二面角内一点分别向两个半平面引垂线,它们所成的角与二面角的平面角互补.
作DC⊥a于点C,作AB⊥平面N,
∵AB∥PD,点P、A、B、C、D都在同一平面内,
∴点D在BC上,
∵AB⊥平面N、DC⊥a,∴AC⊥a,∠ACD是二面角M-a-N的平面角,
∵四边形APDC中,∠PDC=∠PAC=Rt∠,∴∠APD+∠ACD=180°
即自二面角内一点分别向两个半平面引垂线,它们所成的角与二面角的平面角互补.
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