在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别为BC与A1D1的中点，（1）求直线A1C与DE所成的角；（2）求直线AD与平面B1EDF所成的角；（3）求面B1EDF与面ABCD所成的角．

Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分别为BC与A₁D₁的中点，
（1）求直线A₁C与DE所成的角；
（2）求直线AD与平面B₁EDF所成的角；
（3）求面B₁EDF 与 面ABCD所成的角．

Answer 1

（1）如图，在平面ABCD内，过C作CP∥DE交直线AD于P，则∠A₁CP（或补角）为异面直线A₁C与DE所成的角
在△A₁CP中，A₁C=√(3)a，CP=DE=(√(5)a)/(2)，A₁P=(√(13))/(2)a
∴cos∠A₁CP=(3a2+(5)/(4)a2−(13)/(4)a2)/(2×√(3)a×(√(5)a)/(2))=(√(15))/(15)
∴异面直线A₁C与DE所成的角为arccos

作业帮用户 2017-10-18

问题解析

（1）在平面ABCD内，过C作CP∥DE交直线AD于P，则∠A₁CP（或补角）为异面直线A₁C与DE所成的角，在△A₁CP中，利用余弦定理，即可求得异面直线A₁C与DE所成的角；
（2）证明直线AD与平面B₁EDF所成的角为∠ADB₁，在直角△B₁AD中，利用余弦定理，即可求得直线AD与平面B₁EDF所成的角；
（3）连接EF、B₁D，交于点O，作OH⊥平面ABCD，作HM⊥DE，垂足为M，连接OM，则可得∠OMH为面B₁EDF 与 面ABCD所成的角，在直角△OHM中，利用正弦函数，即可求得面B₁EDF 与 面ABCD所成的角．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求直线与平面的夹角．

考点点评：

本题考查线线角、线面角、面面角，解题的关键是正确作出空间角，并在具体三角形中，利用余弦定理求出相应的角，属于中档题．

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