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(2011•宁波模拟)如图,▱ABCD中,AB=1,AD=2AB,∠ADC=60°,EC⊥面ABCD,EF∥AC,EF=32,CE=1(1)求证:AF∥面BDE(2)求CF与面DCE所成角的正切值.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dc54564e9258d109f133fc41d258ccbf6d814d74.jpg)
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(1)求证:AF∥面BDE
(2)求CF与面DCE所成角的正切值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2AB,∠ADC=60°
∴AC=
=
设O为AC与BD交点,
∵ABCD是平行四边形
∴O为AC与BD的中点
∴AO=
=EF,
∵EF∥AC
∴AO∥EF
∵AO=EF
∴EOAF为平行四边形,
∴OE∥AF
∵AF⊄面BDE,OE⊂面BDE
∴AF∥面BDE
(2)△ACD中,∵AD=2,AC=
,∠ADC=60°
∴
=
∴∠ACD=90°
∴AC⊥CD
∵AC∥EF
∴EF⊥CD
∵EC⊥面ABCD,AC⊂面ABCD,
∴EC⊥AC
∵AC∥EF
∴EF⊥EC
∵CD∩EC=C
∴EF⊥面DCE
∴∠FCE为CF与面DCE所成角
△FCE中,EF⊥CE,EF=
CE=1
∴tan∠FCE=
∴CF与面DCE所成角的正切值为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8694a4c27d1ed21b7e027b16ae6eddc450da3f7d.jpg)
∴AC=
AD2+CD2−2AD•CDcos∠ADC |
3 |
设O为AC与BD交点,
∵ABCD是平行四边形
∴O为AC与BD的中点
∴AO=
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2 |
∵EF∥AC
∴AO∥EF
∵AO=EF
∴EOAF为平行四边形,
∴OE∥AF
∵AF⊄面BDE,OE⊂面BDE
∴AF∥面BDE
(2)△ACD中,∵AD=2,AC=
3 |
∴
AC |
sin∠ADC |
AD |
sin∠ACD |
∴∠ACD=90°
∴AC⊥CD
∵AC∥EF
∴EF⊥CD
∵EC⊥面ABCD,AC⊂面ABCD,
∴EC⊥AC
∵AC∥EF
∴EF⊥EC
∵CD∩EC=C
∴EF⊥面DCE
∴∠FCE为CF与面DCE所成角
△FCE中,EF⊥CE,EF=
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2 |
∴tan∠FCE=
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2 |
∴CF与面DCE所成角的正切值为
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