（2011•宁波模拟）如图，▱ABCD中，AB=1，AD=2AB，∠ADC=60°，EC⊥面ABCD，EF∥AC，EF=32，CE=1（1）求证：AF∥面BDE（2）求CF与面DCE所成角的正切值．

Question

（2011•宁波模拟）如图，▱ABCD中，AB=1，AD=2AB，∠ADC=60°，EC⊥面ABCD，EF∥AC，EF=(√(3))/(2)，CE=1
（1）求证：AF∥面BDE
（2）求CF与面DCE所成角的正切值．

Answer 1

（1）证明：∵平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2AB，∠ADC=60°
∴AC=√(AD2+CD2−2AD•CDcos∠ADC)＝√(3)
设O为AC与BD交点，
∵ABCD是平行四边形
∴O为AC与BD的中点
∴AO=(√(3))/(2)=EF，
∵EF∥AC
∴AO∥EF
∵AO=EF
∴EOAF为平行四边形，
∴OE∥AF
∵AF⊄面BDE，OE⊂面BDE
∴AF∥面BDE
（2）△ACD中，∵AD=2，AC=√(3)，∠ADC=60°
∴(AC)/(sin∠ADC)＝(AD)/(sin∠ACD)
∴∠ACD=90°
∴AC⊥CD
∵AC∥EF
∴EF⊥CD
∵EC⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，
∴EC⊥AC
∵AC∥EF
∴EF⊥EC
∵CD∩EC=C
∴EF⊥面DCE
∴∠FCE为CF与面DCE所成角
△FCE中，EF⊥CE，EF＝(√(3))/(2)CE＝1
∴tan∠FCE＝(√(3))/(2)
∴CF与面DCE所成角的正切值为(√(3))/(2)