（2006•山东）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=2，PB⊥PD．（1）求异面直接PD与BC所成角的余弦值；（

Question

（2006•山东）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=√(2)，PB⊥PD．
（1）求异面直接PD与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AB-C的大小；
（3）设点M在棱PC上，且(PM)/(PC)=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．

Answer 1

（1）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD
又PB⊥PD，BO＝2，PO＝√(2)，
由平面几何知识得：OD＝1，PD＝√(3)，PB＝√(6)
过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴OC=OD=1，OB=OA=2，OA⊥OB
∴BC＝√(5)，AB＝2√(2)，CD＝√(2)
又AB∥DC
∴四边形EBCD是平行四边形．
∴ED＝BC＝√(5)，BE＝CD＝√(2)
∴E是AB的中点，且AE＝√(2)
又PA＝PB＝√(6)，
∴△PEA为直角三角形，
∴PE＝√(PA2−AE2)＝√(6−2)＝2
在△PED中，由余弦定理得cos∠PDE＝(PD2+DE2−PE2)/(2PD•DE)＝(3+5−4)/(2•√(3)•√(5))＝(2√(15))/(15)
故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为(2√(15))/(15)；
（2）连接OE，由（1）以及三垂线定理可知，∠PEO为二面角P-AB-C的平面角，
∴sin∠PE0=(PO)/(PE)＝(√(2))/(2)，∴∠PEO=45°，∴二面角P-AB-C的平面角的大小为45°；
（3）连接MD，MB，MO，
∵PC⊥平面BMD，OM⊂平面BMD，
∴PC⊥OM，
在Rt△POC中，PC=PD=√(3)，OC=1，PO=√(2)，
∴PM=(2√(3))/(3)，MC=(√(3))/(3)，
∴(PM)/(MC)＝2，
故λ=2时，PC⊥平面BMD．