(2006•山东)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=2,PB⊥PD.(1)求异面直接PD与BC所成角的余弦值;(
(2006•山东)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥PD.
(1)求异面直接PD与BC所成角的余弦值;
(2)求二面角P-AB-C的大小;
(3)设点M在棱PC上,且=λ,问λ为何值时,PC⊥平面BMD.
答案和解析
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac4bd11373f08202ca95f8bd48fbfbedab641b28.jpg)
(1)∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BD
又
PB⊥PD,BO=2,PO=,
由平面几何知识得:OD=1,PD=,PB=
过D做DE∥BC交于AB于E,连接PE,则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角,
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴OC=OD=1,OB=OA=2,OA⊥OB
∴BC=,AB=2,CD=
又AB∥DC
∴四边形EBCD是平行四边形.
∴ED=BC=,BE=CD=
∴E是AB的中点,且AE=
又PA=PB=,
∴△PEA为直角三角形,
∴PE===2
在△PED中,由余弦定理得cos∠PDE===
故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为;
(2)连接OE,由(1)以及三垂线定理可知,∠PEO为二面角P-AB-C的平面角,
∴sin∠PE0==,∴∠PEO=45°,∴二面角P-AB-C的平面角的大小为45°;
(3)连接MD,MB,MO,
∵PC⊥平面BMD,OM⊂平面BMD,
∴PC⊥OM,
在Rt△POC中,PC=PD=,OC=1,PO=,
∴PM=,MC=,
∴=2,
故λ=2时,PC⊥平面BMD.
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