如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．（1）求作平面PAD与平面PBC的交线，并加以证明；（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面

Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．
（1）求作平面PAD与平面PBC的交线，并加以证明；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的正切值．

Answer 1

（1）过P作BC的平行线L即为所求．（2分）
因为BC∥AD，BC⊄面PAD，AD⊆面PAD，
所以BC∥平面PAD，
因为平面PAD∩平面PBC=L，
所以BC∥L  （5分）
（2）设PD=AD=1，设A到平面PBC的距离为h，
则由题意PA=PB=PC=√(2)，S_△ABC=(1)/(2)×√(3)×(1)/(2)=(√(3))/(4)
在等腰△PBC中，可求S_△PBC=(1)/(2)×1×√((√(2))2− ((1)/(2))2)=(√(7))/(4)
∴V _A-PBC=V _P-ABC，(1)/(3)×h×

作业帮用户 2017-11-12

问题解析

（1）直接过P作BC的平行线L，根据线面平行可以证得L即为所求；
（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值．
（3）取BC中点M，连PM、DM，则PM⊥BC，结合PD⊥BC，又BC∥L，可得∠DPM为所求，然后求出∠DPM的正切值即可．

名师点评

本题考点：

二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．

考点点评：

本题考查空间直线和直线垂直的判定．线面角求解．考查空间想象、推理论证能力．

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