（本题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱,,底面为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,,O为AD中点.(1)求直线与平面所成角的余弦值;(2)求点到平面

Question

（本题满分13分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面PAD⊥底面 ABCD ，侧棱 , ,底面 为直角梯形，其中 BC ∥ AD , AB ⊥ AD , , O 为 AD 中点.

(1)求直线 与平面 所成角的余弦值;
(2)求 点到平面 的距离
(3)线段 上是否存在点 ,使得二面角 的余弦值为 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1) 3 ；（2） ；（3）存在，且 。

本试题主要是考查了立体几何中线面角的求解，二面角的问题，以及点到面的距离。
（1）先确定出平面的垂线，然后利用已知的关系式来得到线面角的表示，进而求解。
(2)利用等体积法得到点到面的距离。
(3)建立空间直角坐标系，进而表示平面的法向量，利用向量与向量的夹角，得到二面角的平面角。
解:(1) 在△ PAD 中 PA = PD , O 为 AD 中点，所以 PO ⊥ AD ,
又侧面 PAD ⊥底面 ABCD , 平面 平面 ABCD = AD , 平面 PAD ，
所以 PO ⊥平面 ABCD .
又在直角梯形 中,易得 ;所以以 为坐标原点, 为 轴, 为
轴, 为 轴建立空间直角坐标系.
则 , , ， ;
,易证: ,所以 平面 的法向量,

所以 与平面 所成角的余弦值为3 ；        ……………………………….4分
（2） ，设平面PDC的法向量为 ，
则 ，取 得
点到平面 的距离 ……………….8分
（3）假设

作业帮用户 2016-12-10

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