如图：PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，PD=CD=2AD=2AB=2，EC=2PE．(Ⅰ)求证：PA∥平面BDE；(Ⅱ)求证：平面BDP⊥平面PBC；(Ⅲ)求二面角B-PC-D的余弦值．

Question

如图：PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，PD=CD=2AD=2AB=2，EC=2PE．
(Ⅰ)求证：PA∥平面BDE；
(Ⅱ)求证：平面BDP⊥平面PBC；
(Ⅲ)求二面角B-PC-D的余弦值．

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Answer 1

【分析】(1)要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BDE中三条已知直线与AE都不平行，故我们要考虑在平面BDE中做一条与PA可能平行直线辅助线，然后再进行证明．
(2)要证明平面BDP⊥平面PBC，我们关键是在一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线，观察图形，在平面PBC中，BC可能与平面BDP垂直，故可以其为切入点进行证明．
(3)要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
我们也可以构造空间直角坐标系，求出各点的坐标，进行求出相应直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法进行求解．

解法一：
证明：建立如图所示的坐标系，
(Ⅰ)A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，P(0，0，2)
，，
设，
可得
因为PA⊄平面BDE，
所以PA∥平面BDE
(Ⅱ)因为
所以BC⊥BD
因为PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD
所以BC⊥平面PBD，
所以平面BDP⊥平面PBC．
(Ⅲ)因为AD⊥DC，AD⊥PD
所以是平面PDC的法向量，，设平面PBC的法向量为，
由得：，
设二面角B-PC-D为θ，则cosθ=
所以二面角B-PC-D余弦值为．
解法二：

(Ⅰ)连接AC交BD于G，连接EG，
∵AB∥CD
∴，由已知，
得，
∴PA∥EG，
∵EG⊂平面DEG，EG∉平面DEG
∴PA∥平面DEG．
(Ⅱ)由已知可得，，取CD的中点O，连接BO，ABOD为正方形，
，所以BD²+BC²=CD²由勾股定理的逆定理知BC⊥BD，
因为BC⊥PD，所以BC⊥平面BDP，所以平面BDP⊥平面PBC
(Ⅲ)BO⊥CD，BO⊥PD，所以BO⊥平面PDC，BO⊥PC
在平面PDC内作OM⊥PC交PC于点M，
所以PC⊥平面BOM
连接BM，BM⊥PC，∠BMO是二面角B-PC-D的平面角．
在RtΔBMO中，OB=1，，，
所以二面角B-PC-D余弦值为

【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α)；③利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β)．