（2014•张掖一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为63，求直线P

Question

（2014•张掖一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为(√(6))/(3)，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=√(2)，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，

CF

、

CD

、

CP

分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），则E（(1)/(2)，-(1)/(2)，(a)/(2)），…（6分）

CA

=（1，1，0），

CP

=（0，0，a），

CE

=（(1)/(2)，-

作业帮用户 2017-10-05

问题解析

（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；
（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量

m

=（1，-1，0），面EAC的法向量

n

=（a，-a，-2），利用二面角P-A C-E的余弦值为(√(6))/(3)，可求a的值，从而可求

n

=（2，-2，-2），

PA

=（1，1，-2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．

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