四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，且∠ABC=45°AB=2，．(1)求证：SA⊥BC；(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．

Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，且∠ABC=45°AB=2，．
(1)求证：SA⊥BC；
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．

____

Answer 1

【分析】(1)过S作SO⊥BC于0，连OA，易得SO⊥底面ABCD，OA⊥OB，以D为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出SA与BC的方向向量，代入向量数量积公式，求出其数量积为0，即可得到SA⊥BC；
\n(2)求出直线SD的方向向量，及平面SAB的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线SD与平面SAB所成角的正弦值．

(1)证明：由侧面SBC⊥底面ABCD，交线BC，过S作SO⊥BC于O，
\n连OA，得SO⊥底面ABCD．
\n∵SA=SB，
\n∴RtΔSOA≌RtΔSOB，
\n∴OA=OB，
\n又∠ABC=45°，
\n∴ΔAOB为等腰直角三角形，
\n∴OA⊥OB．
\n如图，以D为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，

\n则，，
\n则，
\n∴，
\n则SA⊥BC．
\n(2)，
\n设n=(x，y，z)为平面SAB的一个法向量，
\n由，得，
\n则，
\n取x=l，得.
\n而，
\n设直线，SD与平面SBC所成的角为θ，
\n则，
\n故直线SD与平面SBC所成角的正弦值为.

【点评】本题考查的知识是直线与平面所成的解，直线与直线垂直的判定，其中建立适当的空间坐标系，将空间线线及线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．