如题(19)图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点。(Ⅰ)求直线AD与平面PBC的距离;(Ⅱ)若AD=,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值
如题(19)图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,
PA底面ABCD,PA=AB=
,点E是棱PB的中点。
(Ⅰ)求直线AD与平面PBC的距离;
(Ⅱ)若AD=,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。
解法一:
(I)如答(19)图1,在矩形ABCD中,AD//BC,
从而AD//平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离
为点A到平面PBC的距离.
因PA⊥底面ABCD,故PA⊥AB,由PA=AB知
为等腰直角三角形,又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB
又在矩形ABCD中,BC⊥AB,而AB是PB在底面ABCD
内的射影,由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,
故BC⊥AE,从而AE⊥平面PBC,故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离.
在中,PA=AB=
,所以
(II)过点D作DF⊥CE,交CE于F,过点F作FG⊥CE,交AC于G,则为所求的二面角的平面角.
由(I)知BC⊥平面PAB,又AD//BC,得AD⊥平面PAB,
故AD⊥AE,从而
在中,
为等边三角形,故F为CE的中点,且
因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE,又FG⊥CE,知,从而
且G点为AC的中点.
连接DG,则在
所以
解法二:
(I)如答(19)图2,以A为坐标原点,射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴,建立空间直角坐标系A—xyz.
设D(0,a,0),则
.
因此
则,所以AE⊥平面PBC.
又由AD//BC知AD//平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为
(II)因为
设平面AEC的法向量
又
所以
可取
设平面DEC的法向量
又
故
所以
故
所以二面角A—EC—D的平面角的余弦值为
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