如题（19）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。（Ⅰ）求直线AD与平面PBC的距离；（Ⅱ）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值

Question

 

    如题（19）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，

PA底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。

   （Ⅰ）求直线AD与平面PBC的距离；

   （Ⅱ）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

 

 

Answer 1

 

解法一：

   （I）如答（19）图1，在矩形ABCD中，AD//BC，

从而AD//平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离

为点A到平面PBC的距离.

    因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA=AB知

为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB

又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD

内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，

故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离.

    在中，PA=AB=，所以

   （II）过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则为所求的二面角的平面角.

由（I）知BC⊥平面PAB，又AD//BC，得AD⊥平面PAB，

故AD⊥AE，从而

在中，为等边三角形，故F为CE的中点，且

因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知，从而

且G点为AC的中点.

连接DG，则在

所以

解法二：

   （I）如答（19）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A—xyz.

    设D（0，a，0），则

    .

    因此

   

    则，所以AE⊥平面PBC.

又由AD//BC知AD//平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为

   （II）因为

设平面AEC的法向量

又

所以

可取

设平面DEC的法向量

又

 

故

所以

故

所以二面角A—EC—D的平面角的余弦值为